为什么单调有界的函数必有极限
一个函数如果存在极限是不必须要函数是单调函数？
一个函数如果存在极限是不必须要函数是单调函数？
单调函数这一类函数特有的性质，一般不是高等数学的考虑范围。
高数对单调函数的运用是浅尝辄止的，
并没有把它和别的函数特别区别出来。
得到的性质非常有限，
大约和单调必有极限，以及导数的运用，以及作为反函数存在的依据这三样脱不开关系。
但对单调函数而言，
还有一片更广阔的天地，
在实变函数。
一个函数如果可以表示成两个单调函数的差，则称它为有界变差函数。
有界变差函数是几乎处处可导的。
进而还有很多很漂亮的成果，我不一一提及了，题主有兴趣可以自行了解。
因为这部分比较难，我也没法在不清楚题主知识水平的情况下三言两语就讲清楚。
所以大概就这样了。
有单调性不一定有极值？
不一定. 单调函数和极限函数是两个不同概念.
是否有极限 和是否为单调函数无关.
纯单调函数可以是无限递增或递减, 极限为无穷大
函数极限是具体的概念，x趋近于某个值时函数的极限，或者x趋近于﹢∞时函数的极限，或者x趋近于-∞时函数的极限。
要弄清楚x趋近于什么时函数的极限。然后才能讨论极限是否存在的问题。
分段连续函数在连续点，总是有极限的
只有单调函数才能求极限吗？
不一定. 单调函数和极限函数是两个不同概念.
是否有极限 和是否为单调函数无关.
纯单调函数可以是无限递增或递减, 极限为无穷大
函数极限是具体的概念，x趋近于某个值时函数的极限，或者x趋近于﹢∞时函数的极限，或者x趋近于-∞时函数的极限。
要弄清楚x趋近于什么时函数的极限。然后才能讨论极限是否存在的问题。
分段连续函数在连续点，总是有极限的。
有界数列必有极限正误吗？
不一定。
比如摇摆数列{1,-1,1,-1,……}，有界但没有极限，应该强调是单调数列
任一项的绝对值都小于等于某一正数的数列。有界数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。假设存在定值a，任意n有An（n为下角标，下同）B，称数列An有下界B，如果同时存在A、B时的数列An的值在区间[A,B]内，数列有界。
若数列
满足：对一切n有
其中M是与n无关的常数称数列
上有界（有上界）并称M是他的一个上界。
对一切n有
其中m是与n无关的常数称数列
下有界（有下界）并称m是他的一个下界。
一个数列
，若既有上界又有下界，则称之为有界数列。显然数列
有界的一个等价定义是：存在正实数X，使得数列的所有项都满足